| 1. | Every elliptic operator with C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} coefficients is hypoelliptic.
Tout opérateur elliptique à coefficients C ∞ |
| 2. | Let L be an elliptic operator of order 2k with coefficients having 2k continuous derivatives.
Soit L un opérateur elliptique d'ordre 2k dont les coefficients sont 2k continûment dérivables. |
| 3. | Any differential operator exhibiting this property is called a hypoelliptic operator; thus, every elliptic operator is hypoelliptic.
Tout opérateur différentiel ayant cette propriété est appelé opérateur hypoelliptique ; ainsi, tout opérateur elliptique est hypoelliptique. |
| 4. | Elliptic operators are typical of potential theory, and they appear frequently in electrostatics and continuum mechanics.
Les opérateurs elliptiques jouent un rôle crucial en théorie du potentiel et apparaissent fréquemment en électrostatique et en mécanique des milieux continus. |
| 5. | The property also means that every fundamental solution of an elliptic operator is infinitely differentiable in any neighborhood not containing 0.
Cette propriété implique également que toute solution fondamentale d'un opérateur elliptique est infiniment dérivable sur tout voisinage ne contenant pas l'origine. |
| 6. | He was the first mathematician to apply heat equation methods to the proof of the Index Theorem for elliptic operators.
Il fut le premier mathématicien à appliquer le formalisme de l'équation de la chaleur à la démonstration du théorème de l'indice pour les opérateurs elliptiques. |
| 7. | It also vanishes if the manifold X has odd dimension, though there are pseudodifferential elliptic operators whose index does not vanish in odd dimensions.
Il s'annule également si la variété X est de dimension impaire, quoiqu'il existe en dimension impaire des opérateurs pseudo-différentiels elliptiques d'indice non nul. |
| 8. | If the manifold is allowed to have boundary, then some restrictions must be put on the domain of the elliptic operator in order to ensure a finite index.
Si l'on considère des variétés avec bords, certaines restrictions doivent être mises sur le domaine de l'opérateur elliptique pour que l'indice reste fini. |
| 9. | If there is a group action of a group G on the compact manifold X, commuting with the elliptic operator, then one replaces ordinary K-theory with equivariant K-theory.
S'il y a une action d'un groupe G sur la variété compacte X, qui commute avec l'opérateur elliptique, on peut remplacer la K-théorie ordinaire par la K-théorie équivariante (en). |
| 10. | More precisely, an elliptic operator D on a compact manifold has a (non-unique) parametrix (or pseudoinverse) D′ such that DD′−1 and D′D−1 are both compact operators.
Plus précisément, un opérateur elliptique D sur une variété compacte admet un pseudo-inverse D′ (non unique) tel que DD′ − 1 et D′D − 1 sont tous deux des opérateurs compacts. |
